Halaman
iiKelas VIII SMP/MTsSemester 2Kontributor Naskah:Abdur Rahman As’ari, Mohammad Tohir, Erik Valentino, Zainul Imron, Ibnu Taufiq, Nuniek Slamet Hariarti, dan Dana Arief Lukmana.Penelaah: Agung Lukito, Turmudi, dan Dadang Juandi.Penyelia Penerbitan: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-Undang.Milik NegaraTidak DiperdagangkanDisklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.Cetakan ke-1, 2014Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.Katalog Dalam Terbitan (KDT)Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.vi, 186 hlm : ilus. ; 29,7 cm.Untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester 2 ISBN (jilid lengkap)ISBN(jilid I)1.Matematika -- Studi dan PengajaranI. JudulII.Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan510
iiiKata PengantarMatematika adalah bahasa universal dan karenanya kemampuan matematika siswa suatu negara sangat mudah dibandingkan dengan negara lain. Selain dari itu, matematika juga dipakai sebagai alat ukur untuk menentukan kemajuan pendidikan di suatu negara. Kita mengenal PISA (Program for International Student Assessment) dan TIMSS (The International Mathematics and Science Survey) yang secara berkala mengukur dan membandingkan antara lain kemajuan pendidikan matematika di beberapa negara.Standar internasional semacam ini memberikan arahan dalam merumuskan pembelajaran matematika di SMP/MTs. Hasil pembandingan antara yang kita ajarkan selama ini dengan yang dinilai secara internasional menunjukkan adanya perbedaan, baik terkait materi maupun kompetensi. Perbedaaan ini menjadi dasar dalam merumuskan pembelajaran Matematika dalam Kurikulum 2013. Buku Matematika Kelas VIII SMP/MTs Kurikulum 2013 ini ditulis dengan berdasarkan pada materi dan kompetensi yang disesuaikan dengan standar internasonal tersebut. Terkait materi misalnya, sebagai tambahan, sejak kelas VII telah diajarkan antara lain tentang data dan peluang; pola dan barisan bilangan, aljabar, dan bangun; serta transformasi geometri. Keseimbangan antara matematika angka dan matematika pola dan bangun selalu dijaga. Kompetensi pengetahuan bukan hanya sampai memahami secara konseptual tetapi sampai ke penerapan melalui pengetahuan prosedural dalam pemecahan masalah matematika. Kompetensi keterampilan berfikir juga diasah untuk dapat memecahkan masalah yang membutuhkan pemikiran order tinggi seperti menalar pemecahan masalah melalui permodelan, pembuktian dan perkiraan/pendekatan.Walaupun demikian, pembahasan materi selalu didahului dengan pengetahuan konkret yang dijumpai siswa dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan konkret tersebut dipergunakan sebagai jembatan untuk menuju ke dunia matematika abstrak melalui pemanfaatan simbol-simbol matekatika yang sesuai melalui permodelan. Sesampainya pada ranah abstrak, metode-metode matematika diperkenalkan untuk menyelesaikan model permasalahan yang diperoleh dan mengembalikan hasilnya pada ranah konkret.Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan siswa untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, siswa diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Walaupun demikian, sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan untuk penyempurnaan. Oleh karena itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami mengucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).Jakarta, Januari 2014Menteri Pendidikan dan KebudayaanMohammad Nuh
ivKelas VIII SMP/MTsSemester 2Kata Pengantar......................................................................................................................iiiDaftar Isi.........................................................................................................................ivBab 1 Persamaan Linear Dua Variabel............................................................................1Narasi Tokoh Matematika Persamaan Linear Dua Variabel .................................3Persamaan Linear Dua Variabel ...........................................................................4Kegiatan 1.1 Membuat Persamaan Linear Dua Variabel.......................................5Latihan 1.1 ............................................................................................................8.Kegiatan 1.2 Menentukan Selesaian Persamaan Linear Dua Variabel..................10Latihan 1.2 ............................................................................................................14.Kegiatan 1.3 Membuat Model dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel........15Latihan 1.3 ............................................................................................................20Kegiatan 1.4 Menyelesaikan Masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ..........................................21Latihan 1.4 ............................................................................................................29Tugas Projek 1 ......................................................................................................30Merangkum 1 ........................................................................................................32Uji Kompetensi 1 ..................................................................................................33Bab 2 Persamaan Kuadrat................................................................................................37Narasi Tokoh Persamaan Kuadrat ........................................................................39Kegiatan 2.1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan.......40Latihan 2.1 ............................................................................................................49Kegiatan 2.2 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna ..................................................50Latihan 2.2 ............................................................................................................54Tugas Projek 2 ......................................................................................................57Merangkum 2 ........................................................................................................57Uji Kompetensi 2 ..................................................................................................57Daftar Isi1...2...3... Diunduh dari BSE.Mahoni.com
vMATEMATIKABab 3 Lingkaran...................................................................................................................59Narasi Tokoh Lingkaran ...........................................................................................61Kegiatan 3.1 Mengidentifikasi Unsur-unsur Lingkaran ...........................................64Latihan 3.1.................................................................................................................69Kegiatan 3.2 Memahami Hubungan antara Sudut Pusat dengan Sudut Keliling yang Menghadap Busur Sama ............................................................71Latihan 3.2.................................................................................................................74Kegiatan 3.3 Memahami Hubungan antara Sudut Pusat dengan Panjang Busur dan Luas Juring ...................................................................................76Latihan 3.3 ................................................................................................................82Togas Projek 3 .........................................................................................................83Merangkum 3 ............................................................................................................83Uji Kompetensi 3 ......................................................................................................84Bab 4 Bangun Ruang Sisi Datar..........................................................................................89Narasi Tokoh Bangun Ruang ....................................................................................91Luas Permukaan Bangun Ruang ...............................................................................92Kegiatan 4.1 Menentukan Luas Permukaan Kubus dan Balok ................................93Latihan 4.1 ................................................................................................................97Kegiatan 4.2 Menentukan Luas Permukaan Prisma .................................................98Latihan 4.2 ................................................................................................................103Kegiatan 4.3 Menentukan Luas Permukaan Limas ..................................................104Latihan 4.3 ................................................................................................................108Kegiatan 4.4 Menentukan Volume Kubus dan Balok ...............................................109Latihan 4.4 ................................................................................................................114Kegiatan 4.5 Menentukan Volume Prisma ...............................................................115Latihan 4.5 ................................................................................................................119Kegiatan 4.6 Menentukan Volume Limas .................................................................120Latihan 4.6 ................................................................................................................124Kegiatan 4.7 Menaksir Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang Sisi Datar tidak Beraturan ....................................................................................126Latihan 4.7 ................................................................................................................129Tugas Projek 4 .........................................................................................................129Merangkum 4 .........................................................................................................129Uji Kompetensi 4 ......................................................................................................130
viKelas VIII SMP/MTsSemester 2Bab 5 Perbandigan ..........................................................................................................131Narasi Tokoh Perbandingan dalam Hukum Ohm .................................................133Kegiatan 5.1 Menerapkan Perbandingan Senilai ..................................................135Latihan 5.1 ............................................................................................................139Kegiatan 5.1 Menerapkan Perbandingan Berbalik Nilai ......................................140Latihan 5.2 ............................................................................................................144Tugas Projek 5.......................................................................................................146Merangkum 5 ........................................................................................................147Uji Kompetensi 5 ..................................................................................................148Bab 6 Peluang .................................................................................................................153Narasi Tokoh Peluang ...........................................................................................155Kegiatan 6.1 Memahami Peluang Teoretik ..........................................................156Projek 6.1 ..............................................................................................................160Latihan 6.1 ............................................................................................................161Kegiatan 6.2 Membandingkan Peluang Empirik dengan Peluang Teoretik..........162Latihan 6.2 ............................................................................................................167Projek 6.2 ..............................................................................................................167Merangkum 6 ........................................................................................................168Uji Kompetensi 6 ..................................................................................................169Uji Kompetensi Semester 2 .................................................................................................171Daftar Pustaka ......................................................................................................................183Glosarium.........................................................................................................................185
1MATEMATIKASetiap hari rambut kita terus bertambah panjang. Rambut kita akan memanjang 0,3 milimeter tiap hari. Misalkan panjang rambut seorang gadis yang berumur 18 tahun pada gambar di atas awalnya adalah 250 mm. Kita bisa memperkirakan panjang rambutnya y milimeter setelah x hari dengan persamaan lineary = 0,3x + 250Bagaimana dengan panjang rambut kalian? Dapatkah kalian menentukan persamaan linear panjang rambut kalian sendiri?Bab 1Persamaan LinearDua Variabel1.Menentukan nilai variabel persamaan linear dua variabel dalam konteks nyata.2.Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel.KD ompetensi asar• Persamaan Linear Dua Variabel.• Model Matematika• Selesaian.• Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.ata KunciK Berdasarkan Kompetensi Dasar di atas, pengalaman belajar yang akan kita lalui antara lain.1. Membuatdanmendefinisikanbentukpersamaanlinearduavariabel.2.Menentukan selesaian persamaan persamaan linear dua variabel.3.Membuat model matematika dari masalah sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel.4.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peramaan linear dua variabel.PB engalamanelajarSumber: Kemdikbud
2Kelas VIII SMP/MTsSemester 2PK etaonsepPersamaan Linear Dua Variabel (PLDV)Definisi PLDVHimpunan Selesaian PLDVmempelajaridiselesaikan dengan
3Diophantus Dan Persamaan Linear Dua VariabelPersamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus juga dikenal dengan julukan “bapak dari aljabar”. Namun julukan itu kemudian disandang oleh Al-Khawarizmi tentunya. Dia merupakan seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria, pada waktu itu Alexandria adalah pusat pembelajaran Matematika.Semasa hidup Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation (Persamaan Diophantine).Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.Bentuk paling sederhananya diberikan olehax + by = ca, bkoefisien dan c konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Jika d adalah FPB dari a dan b, maka agar persamaan di atas mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c. Terkadang dalam menentukan pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan, kita harus mencoba-coba dan pandai menentukan pola dari selesaiannya. Hikmah apa yang dapat kalian ambil dari biografi Diophantus ini?1.Menyelesaikan masalah tidaklah semudah menyelesaikan perkalian dengan mencongak. Kita harus menentukan strategi yang tepat untuk menyelesaikannya.2.Terkadang kita dihadapkan dengan masalah yang selesaiannya tidak tunggal. Oleh karena itu jangan pernah menyerah untuk menggali informasi lebih dalam sehingga mendapatkan selesaian lainnya.Diophantus( 250 SM - 200 SM)
4Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Di Kelas VII, kalian telah mempelajari materi tentang persamaan linear satu variabel. Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel? Selain persamaan linear dua variabel, kalian tentunya masih ingat persamaan garis lurus pada Bab 4 di Semester 1. Persamaan garis lurus masih erat kaitannya dengan persamaan linear dua variabel. Oleh karena itu, untuk memahami pengertian dan konsep dasar PLDV, pelajari masalah berikut dan selesaikanlah.Pasar Buah1.Berapa banyak pisang yang dibutuhkan untuk menyeimbangkan timbangan ketiga? Jelaskan alasanmu.10 pisang2 pisang1 apel1 apel2 nanas1 nanas2.Berapa banyak wortel yang kamu butuhkan untuk menyeimbangkan timbangan ketiga? Jelaskan alasanmu.6 wortel1 jagung1 paprika1 jagung1 paprika2 paprikaPenghilang Dahaga3.Berapa banyak gelas air yang dapat kamu tuangkan ke dalam botol besar?Jelaskan alasanmu.Persamaan LinearDua Variabel
5MATEMATIKAMasalah1.1Agen Bus yang mana ya?Sekelompok siswa SMP Sukamaju merencanakan studi wisata. Perwakilan kelompok mereka mengamati brosur spesial yang ditawarkan oleh dua agen bus. Kedua brosur tersebut tampak seperti di bawah ini.Menurutmu, agen bus manakah yang akan kamu pilih? Jelaskan alasanmu mengapa agen bus itu kamu pilih.Ayo, cek jawabanmu dengan melengkapi tabel di bawah ini.Tabel 1.1 Perbandingan harga sewa agen bus Angkasa dan GalaksiBanyak SiswaAgen Bus AngkasaAgen Bus Galaksi515253545Sekarang, gunakan Tabel 1.1 di atas untuk menerangkan agen bus manakah yang tawarannya lebih baik, kemudian bandingkan dengan jawabanmu pada pertanyaan di atas.Membuat Persamaan Linear Dua VariabelegiatanK 1.1GalaksiMelayani Studi WisataPerjalanan Mulai07.00 & 12.00* Biaya Pemesanan HANYA Rp2.000.000* Per siswa hanyaRp150.000GalaksiAgen BusGalaksiGalaksiangkasaAgen BusBerangkat Setiap Hari!!Pukul 06.00 & 10.00> Biaya Pemesanan Rp4000.000 atau> Rp100.000 per siswaPEKAN PROMOangkasaPerjalanan Studi WisataGambar 1.1 Brosur penawaran spesial agen bus Angkasa dan Galaksi
6Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Alternatif Pemecahan MasalahSetelah mempelajari Bab ini, kalian akan mampu membuat model dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel.AyoKita AmatiPerhatikan dengan seksama pada masalah pemilihan agen bus.1.Uraikan dengan kata-kata bagaimana menentukan biaya sewa bus di Agen Bus Angkasa jika siswa yang mengikuti studi wisata banyaknya sembarang.Biayanya sama dengan ... ditambah ... 2.Gunakan variabel dan bilangan untuk menuliskan sebuah persamaan yang menjelaskan biaya penggunaan Bus Angkasa dengan banyak siswa sebarang. Misal h menunjukkan biaya yang dikeluarkan dan s menunjukkan banyak siswa:h = ...3.Gunakan cara yang sama yang kamu lakukan pada pertanyaan 1 dan 2 untuk menuliskan sebuah persamaan yang menjelaskan biaya penggunaan Bus Galaksi dengan banyak siswa sembarang. Misal h menunjukkan biaya yang dikeluarkan dan s menunjukkan banyak siswa: h = ...Persamaan yang telah kalian buat pada pertanyaan nomor 2 dan 3 adalah bentuk persamaan linear dua variabel.1.Dapatkah kalian menentukan persamaan besar biaya yang dikeluarkan untuk menyewa bus tanpa harus repot membuat tabel?2.Bagaimana cara membuat model matematikanya? Dan bagaimana juga cara menyelesaikannya?Ayo KitaMenanya??Terkait dengan fokus pengamatan di atas, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut: 1. “Biaya pemesanan Rp4.000.000,00” dan “Biaya pemesanan Rp2.000.000,00”2. “Uang sewa” dan “banyak siswa yang mengikuti studi wisata berbeda-beda”3. “Persamaan linear” dan “selesaian, bukan selesaian”Tulislah pertanyaan kalian di buku tulis.Ayo KitaMenggali Informasi+=+Sebelum kalian menggali informasi, sebaiknya kalian perhatikan uraian berikut:Contoh bentuk persamaan linear dua variabela. y = x + 5b. a + 2b = 4c. 3m + 6n = 9
7MATEMATIKAVariabel pada persamaan y = x + 5adalah x dan y, sedangkan variabel pada persamaan a + 2b = 4 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3m + 6n = 9 adalah m dan n. Perhatikan bahwa pada setiap contoh persamaan di atas, banyaknya variabel ada dua dan masing-masing berpangkat satu.Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c ∈R,a,b≠0,danx,ysuatuvariabel.Carilah sedikitnya 10 contoh yang termasuk persamaan linear dua variabel dan yang bukan termasuk persamaan linear dua variabel dari buku matematika, buku pelajaran lainnya, atau internet.Ayo KitaMenalarBerdasarkan informasi yang kalian dapatkan, coba perhatikan tabel 5.2 berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaannya.Tabel 1.2 Bentuk Umum Persamaan Linear Dua VariabelNomorPersamaan Linear Dua VariabelBentuk Umum1 3x + 4y = 12ax + by = c, a = 3, b = 4, c = 122h = 100.000s + 2.000.000as + bh = c, a = 100.000, b = 1, c = 2.000.0003721+=xyax + by = c, a = 21, b = 1, c = 74429=+−tsas + bt = c, a = -9, b = 2, c = 450,3a – 0,6b = 2,1am + bn = c, a = 0,3, b = -0,6, c = 2,161 243 93pq+=34,92,31,====+cbacbqap7y = xax + by = c, a = -1, b = 1, c = 082x + y = 4ax + by = c, a =2, b = 1, c = 4
8Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Perhatikan nilai-nilai a, b, dan c. Adakah syarat-syarat suatu persamaan dikatakan persamaan linear dua variabel? Kalau ada, apa saja syarat-syaratnya? Bagaimana bila salah satu dari nilai variabel xatau y sama dengan nol? Lalu, bagaimana jika nilai a dan b keduanya sama dengan nol? Apakah membentuk suatu persamaan linear dua variabel? Buatlah simpulan dan berikan alasamu.Ayo KitaBerbagiSajikan hasil penalaran kalian di depan kelas, Periksa dan secara santun silakan saling memberi komentar dan menanggapi komentar temanmu.1.Lima siswa SMP Sukamaju telah menabung untuk mengikuti studi wisata. Mereka menyajikan data untuk menunjukkan tabungan masing-masing sebagai berikut.Manakah di antara kelima data di atas yang dapat menyatakan persamaan linear dua variabel? Jelaskan.Latihan!?!?1.1
9MATEMATIKA2.Perhatikan penyederhanaan bentuk aljabar yang dilakukan Zainul berikut.Setelah itu, Zainul mengatakan bahwa 223xyxy−=− merupakan persamaan linear dua variabel karena bisa disederhanakan menjadi x + y = 3Menurut kalian, apakah pernyataan Zainul benar?3.Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah ax + by = c. Jika diketahui persamaan y = x, berapakah nilai a, b, dan c? Jika diketahui persamaan y = x + 1, berapakah nilai a, b,dan c? Bagaimanakah grafik yang terbentuk dari kedua persamaan tersebut?4.Perhatikan ketiga bangun yang terbentuk dari segi lima berturan berikut.Bangun 1 Bangun 2 Bangun 3a. Salin dan lengkapi tabel sampai bangun kelima.b. Tuliskan persamaan untuk menentukan keliling tiap-tiap bangun.Banyak segilimaKeliling1528311......
10Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Koperasi SekolahBu Retno bertanggung jawab atas koperasi sekolah. Koperasi sekolah dibuka setiap hari dan menjual segala kebutuhan siswa. Namun, karena mengajar, Bu Retno tidak setiap waktu menjaga koperasi sekolah. Oleh karena itu, Bu Retno memberlakukan “Sistem Kejujuran” setiap siswa yang ingin membeli pensil dan penghapus. Siswa hanya tinggal meletakkan uangnya ke dalam “kotak kejujuran” yang disediakan. Di koperasi sekolah, harga setiap pensil adalah Rp2.500,00 dan harga setiap penghapus Rp1.500,00.Suatu hari, Bu Retno mendapatkan Rp10.500,00 dalam kotak kejujuran. Beliau merasa kebingungan ketika menentukan harga pensil dan penghapus yang terjual. Supaya lebih mudah, Bu Retno membuat dua daftar harga: satu untuk harga pensil dan satu lagi untuk harga penghapus.Tabel 1. 3 Daftar harga pensil dan penghapusBanyak PensilHarga0Rp01Rp2.500,002Rp5.000,003Rp7.500,004Rp10.000,005Rp12.500,006Rp15.000,007Rp17.500,00Banyak PenghapusHarga0Rp01Rp1.500,002Rp3.000,003Rp4.500,004Rp6.000,005Rp7.500,006Rp9.000,007Rp10.500,00Menentukan Selesaian Persamaan Linear Dua VariabelegiatanK 1.2Masalah1.2Gambar 1. 2 Koperasi sekolahSelesaian Persamaan Linear Dua Variabel
11MATEMATIKAMasalah yang dihadapi Bu Retno bisa dengan mudah kita selesaikan, jika kita mengganti nilai banyak pensil dan penghapus ke persamaan yang kalian buat. AyoKita AmatiCoba perhatikan bentuk persamaan linear dua variabel dari masalah Koperasi Sekolah yang dihadapi Bu Retno beserta selesaian dan bukan selesaiannya pada Tabel 1.4 berikut.Tabel 1.4 Selesaian dan Bukan Selesaian atas Masalah Bu RetnoPersamaanContoh SelesaianContoh Bukan selesaian2.500p + 1.500h = 10.500p adalah banyak pensil dan h adalah banyak penghapus. Persamaan di atas memiliki selesaian (p, h)(3, 2)sebab2.500(3) + 1.500(2) = 10.500(1, 5)sebab2.500(1) + 1.500(5) ≠ 10.500(0, 7)sebab2.500(0) + 1.500(7) = 10.500(4, 1)sebab2.500(4) + 1.500(1) ≠ 10.500Bu Retno masih belum puas dengan tabel harga yang dibuatnya. Bu Retno mencoba berpikir bagaimana caranya untuk mendapatkan semua harga perpaduan dari pensil dan penghapus dalam satu diagram.Muncul ide Bu Retno untuk membuat diagram perpaduan harga. Kalian amati bagian dari diagram yang dibuat oleh Bu Retno di bawah ini.Dari diagram yang dibuat Bu Retno yang telah kalian amati, coba tuliskan pertanyaan yang ingin kalian ketahui jawabannya. Tulis pertanyaan pada buku catatan kalian.Bu Retno mengira bahwa barang yang terjual adalah 3 pensil dan 2 penghapus. Apakah ada kemungkinan lainnya?Di hari yang lain terdapat Rp15.000,00 dalam kotak kejujuran. Bu Retno tidak dapat menentukan apa saja yang terjual. Bisakah kalian membantu Bu Retno?Nah, banyak pensil dan penghapus yang kalian tentukan merupakan selesaian persamaan linear dua variabel jika menghasilkan jumlah yang sama dengan jumlah uang yang ada dalam kotak.Alternatif Pemecahan MasalahAyo KitaMenanya??15004000025000123Banyak PensilBanyak Penghapus3210Diagram Perpaduan
12Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Sebelum kalian menggali informasi, sebaiknya perhatikan contoh soal berikut.Contoh1.1Tentukan selesaian dari 3x + 2y = 6.Penyelesaian3x + 2y = 6 adalah persamaan linear dengan dua variabel-dapat juga disebut dengan persamaan garis lurus-jadi, semua titik koordinat yang berada pada garis tersebut merupakan penyelesaiannya-Misal: x = 0 dan y = 3; (0, 3)-Misal: x = 2 dan y = 0; (2, 0)Contoh1.2Tentukan selesaian dari 4x + 2y = 8.PenyelesaianUntuk mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan 4x + 2y = 8, dapat ditulis dalam bentuk tabel seperti berikut.x...−2−1012...y...86420...(x, y)...(−2, 8)(−1, 6)(0, 4)(1, 2)(2, 0)...Jadi, himpunan selesaian persamaan 4x + 2y = 8 adalah {..., (−2, 8), (−1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), ....}.Ayo KitaMenggali Informasi+=+
13MATEMATIKAJika kalian memperluas diagram seperti di bawah ini, kalian dapat menunjukkan perpaduan harga pensil dan penghapus lebih banyak lagi.Gambar 1.3 Diagram perpaduan harga penghapus dan pensila.Salin dan lengkapi persegi berwarna putih sesuai harga dari perpaduan pensil dan penghapus.b.Lingkari harga tiga pensil dan dua penghapus.15004000025000123Banyaknya Pensil3210Banyaknya Penghapus1.Dari pengalaman kalian menggali informasi, hal-hal apa saja yang perlu diperhatikan dalam menentukan selesaian dari suatu persamaan linear dua variabel?2.Berapakah banyak pensil dan penghapus jika uang yang diperoleh Rp4.000,00? Adakah selesaian lain?3.Berapakah banyak pensil dan penghapus jika uang yang diperoleh Rp12.000,00? Adakah selesaian lain?4.Apa yang dapat kalian simpulkan dari pertanyaan 2) dan 3)?Ayo KitaBerbagiSajikan hasil penalaran kalian di depan kelas, Periksa dan secara santun silakan saling memberi komentar dan menanggapi komentar temanmu, dan menyepakati kalimat-kalimat yang paling tepat.Ayo KitaMenalar
14Kelas VIII SMP/MTsSemester 21.Amati kembali masalah Bu Retno. Jika dalam kotak kejujuran terdapat uang Rp15.000,00, berapa banyak pensil dan penghapus yang terjual? Jelaskan bagaimana kalian menentukannya.2.Perhatikan dialog berikut.Zainul: “Seharusnya persamaan 1154=+yx tidak memiliki selesaian.”Erik: “Lho, 4x + 5y = 1 punya selesaian, misalnya (−1 , 3).”a.Mengapa Zainul mengatakan itu, sedangkan Erik mengatakan hal yang lain?b.Nah, untuk semesta yang bagaimanakah pernyataan Zainul benar?3.Apakah 1042=+yx mempunyai selesaian pada himpunan bilangan asli? Sebutkan apa saja selesaiannya.4.Apakah 942=+yx mempunyai selesaian pada himpunan bilangan asli? Jelaskan.5.Perhatikan kembali brosur penawaran dua agen bus. Pada diagram di bawah ini, gunakan warna yang berbeda untuk melukis grafik biaya yang dikeluarkan 5, 15, 25, 35, dan 45 siswa. Gunakan satu warna untuk menunjukkan Agen Bus Angkasa dan warna lain untuk Agen Bus Galaksi.a.Dari grafik yang telah kamu buat, kapankah kedua agen bus memiliki biaya yang sama?b.Berapakah batas banyak siswa yang mengikuti studi wisata supaya penawaran agen bus Angkasa lebih baik? Jelaskan bagaimana kamu menentukannya.c.Berapakah batas banyak siswa yang mengikuti studi wisata supaya penawaran agen bus Galaksi lebih baik? Jelaskan bagaimana kamu menentukannya.01020304050607080Banyaknya Siswa1.0009008007006005004003002001000Biaya (dalam puluhan ribu)Latihan!?!?1.2
15MATEMATIKAMasalah1.3Perhatikan masalah berikut ini. Nawa dan Rina membeli alat tulis untuk mereka sendiri dan teman-temannya. Mereka membeli di toko yang sama dan membeli barang dengan merek yang sama. Masalahnya, mereka lupa meminta struk pembelian.Alat TulisKeteranganRp80.000Rina mengeluarkan Rp80.000,00 untuk membeli empat papan penjepit dan delapan pensilRp70.000Nawa mengeluarkan Rp70.000,00 untuk membeli tiga papan penjepit dan sepuluh pensilGunakan gambar-gambar di atas untuk menjawab masalah berikut:1.Tanpa mengetahui harga sebuah papan penjepit atau pensil, dapatkah kalian menentukan barang mana yang lebih mahal? Jelaskan.2.Berapa harga sebuah pensil? Jelaskan.Alternatif Pemecahan MasalahUntuk menyelesaikan masalah tersebut, Nawa dan Rina membuat persamaan masing-masing pembelian mereka. Persamaan yang dibuat Nawa adalah 4j + 8p = 80.000 dan persamaan yang dibuat Rina adalah 3j + 10p = 80.000.Huruf j menunjukkan harga papan penjepit dan p menunjukkan harga pensil.Membuat Model Masalah dari Sistem Persamaan Linear Dua VariabelegiatanK 3Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
16Kelas VIII SMP/MTsSemester 2AyoKita AmatiUntuk membantu mereka, lengkapi tabel berikut untuk tiap-tiap persamaan supaya lebih mudah menentukan harga papan dan pensil yang mereka beli.4j + 8p = 80.0003j + 10p = 70.000jpjp10.0004.0004.00012.00015.0002.5002.00016.00017.0001.900(a)(b)Ayo KitaMenanya??Terkait dengan fokus pengamatan di atas, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut: 1. “papan penjepit, pensil” dan “harga masing-masing”2. “cara”, “ sistem persamaan linear dua vareabel”Tulislah beberapa pertanyaan pada buku tulis kalian.Sebelum kalian menggali informasi, sebaiknya kalian perhatikan uraian berikut:Contoh1.3Tentukan selesaian dari x + 2y = 10 dan 2x - y = 5.Penyelesaianx + 2y = 10 dan 2x − y = 5 adalah sistem persamaan linear dua variabel-Jika pengganti-penganti dari kedua variabel dapat dinyatakan benar, maka dapat dikatakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.-Variabel dari masing-masing persamaan harus sejenis.-Misal: x = 6 dan y = 2; x + 2y= 10 2x − y= 5 6 + 2 (2)= 10 2(6) − 2 = 56 + 4= 10 12 − 2= 5 10 = 10 (Benar) 10 = 5 (Salah)Jadi, karena salah satu persamaan menjadi kalimat yang salah. Maka x = 6 dan y = 2 bukan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 10 dan 2x−y = 5Ayo KitaMenggali Informasi+=+
17MATEMATIKA-Misal: x = 4 dan y = 3; x + 2y= 10 2x - y= 5 4 + 2 (3)= 10 2(4) − 3 = 54 + 6 = 10 8 - 3= 5 10 = 10 (Benar) 5 = 5 (Benar)Jadi, karena kedua persamaan menjadi kalimat yang benar. Maka x = 4 dan y = 3 adalah penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 10 dan 2x−y = 5Cara di atas adalah salah satu cara untuk menentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, yaitu dengan mensubstitusikan nilai x dan y sebarang pada dua persamaan tersebut. Sehingga apabila kedua persamaan tersebut menjadi kalimat yang benar, maka nilai x dan yadalah penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut. Cara seperti ini masih kurang efektif, karena masih butuh waktu untuk menemukan nilai x dan y yang merupakan selesaian.Sekarang coba temukan cara lain pada buku tertentu, di internet, atau informasi lainnya. Tentangcara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.Ayo KitaMenalarBerdasarkan informasi yang kalian dapatkan, maka terapkanlah pada soal berikut ini:1)Tentukan syarat sebuah sistem persamaan linear dua variabel memiliki selesaian.2)Tentukan penyelesaian sistem persamaan dari 2(x +1) – 3y = 5 dan 3x – 2(y +3) = 13)Gunakan gambar 1.4 di bawah ini untuk menjawab masalah 1 – 3.a.Tanpa mengetahui harga sebuah kacamata atau celana, dapatkah kalian menentukan barang mana yang lebih mahal? Jelaskan.b.Berapa banyak celana yang dapat dibeli jika kalian mempunyai uang Rp400.000,00?c.Berapa harga sebuah kacamata? Jelaskan alasanmu.Gambar 1.3 Perbandingan harga dua paket kacamata dan celanaStrategi apa yang kalian gunakan untuk menyelesaikan ketiga masalah di atas? Berapa persamaan yang terbentuk dari dua gambar di atas?Ayo KitaBerbagiSajikan hasil penalaran kalian di depan kelas, Periksa dan secara santun silakan saling memberi komentar dan menanggapi komentar temanmu.
18Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Jika diketahui sistem persamaan 12.345x + 54.321y = 45.678 dan 54.321x + 12.345y = 87.654. Bagaiamana cara menentukan nilai x3 + y3? Jelaskan.Untuk menyelesaiakan permasalahan ini kalian sebaiknya memahami terlebih dahulu permasalahan yang sederhana, berikut ini.1.Diketahui sistem persamaan 12x + 21y = 27 dan 21x + 12y = 72. Tentukan nilai x3 + y3.Penyelesaian: Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, ikutilah langkah-langkah penyelesaian berikut:Langkah I: tulislah persamaan tersebut menjadi persamaan (1) dan (2)Langkah II: jumlahkan kedua persamaan tersebut dan sederhanakan, misalkan persemaan baru tersebut adalah persamaan (3)Langkah III: kurangkan kedua persamaan tersebut dan sederhanakan, misalkan persemaan baru tersebut adalah persamaan (4)Langkah IV: dari persamaan (3) dan (4), jumlahkan atau kurangkan sehingga diketahui nilai x dan nilai y-nyaLangkah V: selanjutnya nilai x dan y subsitusikan kebentuk x3 + y32.Diketahui sistem persamaan 123x + 321y = 369 dan 321x + 123y = 963Penyelesaian: Lakukan langkah-langkah penyelesaian seperti nomor 1.3.Diketahui sistem persamaan 234x + 432y = 468 dan 432x + 234y = 864Penyelesaian: Lakukan langkah-langkah penyelesaian seperti nomor 1.Tulislah penyelesaian soal nomor 1, 2, dan 3 pada buku tulis/lembar kerja kalian.Terkait dengan fokus pengamatan di atas, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut:1.“koevisien x dan y di ruas kiri” dan “ konstanta di ruas kanan” 2.“cara” dan “penyelesaian”Tulislah beberapa pertanyaan pada buku tulis/lembar kerja kalian.Masalah1.4Alternatif Pemecahan MasalahAyoKita AmatiAyo KitaMenanya??
19MATEMATIKACoba kalian gunakan cara lain untuk menentukan nilai x3 + y3 yang terdapat pada kegiatan ayo kita amati.Agar kalian menjadi lebih yakin bagaimana cara menyelesaikan pada masalah 5.4, cobalah membuat penyelesaian sebagai berikut, dan lengkapilah:Diketahui:Langkah I: Tulislah persamaan tersebut menjadi persamaan (1) dan (2)12345x + 54321y = 45678 (1)54321x + 12345y = 87654 (2)Langkah II: Jumlahkan kedua persamaan tersebut dan sederhanakan, misalkan persemaan baru tersebut adalah persamaan (3)12345x + 54321y = 4567854321x + 12345y = 87654 +............................ = ................. atau .......... = ... (3)Langkah III: Kurangkan kedua persamaan tersebut dan sederhanakan, misalkan persemaan baru tersebut adalah persamaan (4)12345x + 54321y = 4567854321x + 12345y = 87654 –............................ = ................. atau .......... = ... (4)Langkah IV: Dari persamaan (3) dan (4), jumlahkan atau kurangkan sehingga diketahui nilai xdan nilai y-nyaDari persamaan (3) dan (4) didapat:.......... = ............. = ... ............. = ...atau x = ...sehingga y = ...Langkah V: Selanjutnya nilai x dan y subsitusikan kebentuk x3 + y3Jadi, x3 + y3 = ... = ... = ... = ...Tuliskan hasil diskusi di buku tulis kalian, kemudian tukarkan dengan teman kalian yang lain. Paparkan di depan kelas dan silakan memberi komentar secara santun.Ayo KitaBerbagiAyo KitaMenggali Informasi+=+
20Kelas VIII SMP/MTsSemester 21.Setelah perwakilan kelompok menentukan agen bus untuk menyewa bus, sekarang mereka menimbang paket harga untuk biaya penginapan dan tiket masuk museum. Kedua paket ditunjukkan seperti di bawah ini.Misalkan terdapat penawaran studi wisata dari agen wisata lainnya yang menawarkan paket untuk biaya hotel dan tempat wisata.XAkomodasi :> Penginapan 3 malam> 2 Tiket Objek WisataRp415.000per orangRp620.000per orangYPAKETAkomodasi :> Penginapan 4 malam> 4 Tiket Objek Wisataa. Tulis sebuah persamaan untuk Paket X dengan h menyatakan biaya akomodasi hotel setiap malam dan t menyatakan biaya tiket masuk objek wisata.b.Tulis sebuah persamaan untuk Paket Y dengan h menyatakan biaya akomodasi hotel setiap malam dan t menyatakan biaya tiket masuk objek wisata.2.Lima sampan besar dan dua sampan kecil dapat mengangkut 36 orang.Dua sampan besar dan sebuah sampan kecil dapat mengangkut 15 orang.a. Tulislah dua persamaan yang menyatakan informasi di atas. Gunakan huruf b dan kuntuk variabel.b. Menunjukkan apa huruf b dan k pada persamaan yang kamu tulis?3.Dalam persamaan-persamaan berikut, bilangan 96 dan 27 dapat menyatakan panjang, berat, harga, atau apapun yang kalian inginkan.4l + 3m = 96l + m = 27Tulislah sebuah cerita yang sesuai dengan persamaan di atas.4.Sebuah persegi panjang memiliki panjang 1 cm lebih dari 2 kali lebarnya. Jika keliling persegi panjang 44 cm, maka hitunglah panjang dan lebar persegi panjang tersebut.5.Jika diketahui sistem persamaan linear dua variabel 1234567x + 7654321y = 3456789 dan 7654321x + 1234567y = 9876543. Bagaiamana cara menentukan nilai x2 – y2? Jelaskan.Latihan!?!?1.3
21MATEMATIKAPanjang RambutSekarang, panjang rambut Ayun yang berumur 18 tahun adalah 250 milimeter (mm). Dia ingin menduga panjang rambutnya satu bulan. Kemudian dia tahu bahwa rambut akan bertambah panjang 0,3 mm tiap hari. Adiknya, Nadia, menyarankan untuk membuat tabel untuk mengetahui panjang rambutnya setiap 10 hari. Namun, Ayun mengatakan bahwa ada suatu persamaan yang mudah untuk mengetahui panjang rambutnya setelah sekian hari.Berikut ini hal-hal yang dilakukan Ayun:1.Membuat model persamaan2.Menyelesaikan model persamaan3.Menafsirkan hasil selesaian4.Memeriksa ketepatan selesaianBerikut yang dilakukan Ayun untuk membuat model persamaan mengenai panjang rambutnya.1.Membuat model persamaanPanjang rambut saya adalah 0,3 dikalikan sekian hari ditambah dengan panjang rambut saya sekarang.Ayun menulis suatu persamaanpanjang rambut = 0,3 × jumlah hari + 250PenerapanSistem Persamaan Linear Dua VariabelMenyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua VariabelegiatanK 1.2Masalah1.5Alternatif Pemecahan MasalahAyoKita AmatiSumber: KemdikbudGambar 1.4 Gadis berambut panjang
22Kelas VIII SMP/MTsSemester 22.Menyelesaikan model persamaanMaria menyederhanakan persamaan yang dibuat Ayun dengan menggunakan huruf sebagai variabel. Dia menggunakan p sebagai pengganti panjang rambut dan h sebagai pengganti jumlah hari:p = 0,3 × h + 250Ketika kamu mengalikan suatu bilangan dengan variabel, kamu dapat menghilangkan tanda perkalian. Sehingga kamu bisa meringkas persamaan menjadi:p = 0,3h + 2503.Menafsirkan hasil selesaianSekarang, dengan persamaan yang ditulis, mereka bisa dengan meudah menafsirkan panjang rambut Ayun saat 1 bulan. Mereka melakukan penghitungan berikut ini:p = 0,3h + 250Karena yang diukur adalah rambut Ayun selama 1 bulan yakni 30 hari, berarti h = 30. Sehingga p = 0,3(30) + 250p = 9 + 250p = 259Jadi, panjang rambut Ayun setelah 10 hari adalah 259 mm.4.Memeriksa ketepatan selesaianUntuk memeriksa ketepatan penafsiran mereka, Maria mengeceknya dengan cara sebagai berikut.Apakah benar kalau panjang rambut Ayun 259 mm, waktu yang dibutuhkan untuk memanjangkannya 30 hari?Maria memisalkan p = 259 dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan.259 = 0,3h + 250 259 - 250 = 0,3h 9 = 0,3h 30 = hTernyata benar bahwa lama yang dibutuhkan Ayun untuk memanjangkan rambutnya hingga 259 mm adalah 30 hari.Coba bantu Ayun dan Maria untuk menaksir lama yang dibutuhkan Ayun memanjangkan rambutnya sampai 274 mm.Masalah Panjang Rambut seperti di atas lebih mudah diselesaikan daripada masalah yang diselesaikan Nawa dan Rina di Kegiatan 1.3. Apa perbedaan masalah Panjang Rambut dan masalah Nawa dan Rina yang tidak memiliki struk belanja? Manakah yang lebih efektif menggunakan diagram perpaduan dan tabel harga?Tulislah pertanyaan lain yang ingin kalian ketahui jawabannya pada buku tulis/lembar kerja.Ayo KitaMenanya??
23MATEMATIKAAyo KitaMenggali Informasi+=+Dalam Masalah 1.5, kalian mendapatkan pengalaman dalam menulis persamaan linear dengan dua variabel untuk mengekspresikan berbagai kondisi masalah dan menyelesaikan masalah dengan menentukan nilai salah satu variabel saja. Terkadang, terdapat masalah melibatkan dua model persamaan linear yang harus diselesaikan secara bersama-sama. Tugas kalian adalah untuk menemukan satu pasangan (x, y) dari nilai-nilai yang memenuhi kedua persamaan linear.a.Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan grafik dan substitusi.Dalam kegiatan ini, kalian akan mengembangkan kemampuan dalam menulis, menafsirkan, dan memecahkan sistem persamaan linear.Ada beberapa metode yang berbeda untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Ketika kalian menyelesaikan masalah ini, kalian akan menggali informasi tentang jawaban pertanyaan berikut.Bagaimana grafik dan substitusi aljabar digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear dua variabel?Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan Contoh 1.4 berikut.Setelah kalian melakukan kagiatan mengamati dan membuat pertanyaan, coba perhatikan contoh soal berikut.Contoh1.4Keliling sebuah kebun yang berbentuk persegi panjang adalah 42 m. Selisih panjang dan lebar kebun adalah 9 m. Tentukan panjang dan lebar kebun?PenyelesaianAlternatifMasalah dari situasi Contoh 1.4 dapat diselesaikan dengan membuat model persamaan dan menyelesaikan nya.Misalkan panjang persegi panjang = x dan lebarnya = y, maka kalimat matakatikanya adalah:Keliling kebun yang berbentuk persegi panjang adalah 42 m, dapat dibentuk persamaan2x + 2y = 42 Selisih panjang dan lebar kebun adalah 9 m, dapat dibentuk persamaanx − y = 9 Dalam Bab 4 semester 1, kalian telah mempelajari bahwa persamaan dalam bentuk ax + by = cdisebut persamaan linear karena grafik selesaian mereka adalah berupa garis lurus. Gambar di bawah menunjukkan grafik selesaian untuk persamaan 2x + 2y = 42 dan x − y = 9.Selesaian dari persamaan 2x + 2y = 42
24Kelas VIII SMP/MTsSemester 2x−303691215182124y24211815129630−3Selesaian dari persamaan x − y = 9x−303691215182124y−12−9−6−303691215Dari kedua tabel selesaian, terdapat sebuah pasangan terurut (x, y) yang memenuhi kedua persamaan, yakni (15, 6).30252015105y302520151050xGambar. Grafik selesaian 2x + 2y = 42 dan x − y = 9Titik perpotongan kedua garis merupakan selesaian dari kedua persamaan, yakni (15, 6).Terdapat banyak kasus yang mudah untuk memecahkan sistem persamaan linear dua variabel tanpa kesulitan untuk menghasilkan grafik dan memperkirakan nilai-nilai x dan y yang dibutuhkan. Salah satu strategi lain adalah, metodesubstitusi, yakni menggabungkan dua persamaan dua variabel ke dalam persamaan tunggal dengan hanya satu variabel dengan mengganti dari satu persamaan ke yang lain.2x + 2y = 42x − y = 9
25MATEMATIKALangkah 1Menuliskan model kedua persamaan 2x + 2y = 42 dan x − y = 9Langkah 2Persamaan x − y = 9 dapat ditulis x = y + 9Langkah 3Subsitusikan persamaan x = y + 9 ke persamaan 2x + 2y = 42, 2(y + 9) + 2y = 422y + 18 + 2y = 42 4y = 42 − 18 4y = 24 y = 6 Langkah 4Mengganti nilai y, yakni y = 6 ke persamaan x = y + 9x= 6 + 9x= 15Jadi, panjang kebun yang dimaksud adalah 15 m dan lebarnya 6 m.b.Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan eliminasiStrategi grafik dan substitusi untuk penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel mudah digunakan dalam beberapa situasi, namun tidak pada situasi lainnya. Metode grafik membutuhkan gambar dan penentuan titik yang cermat dan mungkin memberikan perkiraan hanya solusi. Metode substitusi paling mudah untuk memecahkan satu variabel. Ketika kalian menyelesaikan masalah ini, kalian akan menggali informasi tentang jawaban pertanyaan berikut.Bagaimana penghapusan variabel digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear?Perhatikan Contoh 1.5 untuk mengetahui penggunaan metode eliminasi dalam menentukan selesaian sistem persamaan linear dua variabel.Contoh1.5Harga 5 buku dan 3 penggaris adalah Rp21.000,00. Jika Maher membeli 4 buku dan 2 penggaris, maka ia harus membayar Rp16.000,00. Berapakah harga yang harus dibayar oleh Suci jika ia membeli 10 buku dan 3 penggaris yang sama?PenyelesaianMisalkan x adalah harga buku dan y adalah harga penggaris.Langkah 1Membuat sistem persamaannya:Harga 5 buku dan 3 penggaris adalah Rp21.000,00 persamaannya 5x + 3y = 21.000Harga 4 buku dan 2 penggaris adalah Rp16.000,00 persamaannya 4x + 2y = 16.000Langkah 2 Mengeliminasi/menghilangkan variabel y, maka koefisien variabel y harus sama5x + 3y = 21.000|× 2|10x + 6y= 42.0004x + 2y = 16.000|× 3|12x + 6y= 48.000 – 2x= – 6.000x = 3.000
26Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Contoh1.6Tohir mempunyai uang Rp14.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli 6 buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp4.000,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa pensil dengan harga Rp2.500,00 per pensil. Berapa banyak pensil yang dibeli Tohir?PenyelesaianAlternatifMisalkan banyak buku adalah b, dan banyak pensil adalah p (b, p adalah bilangan asli) Maka persamaan matematika dari soal tersebut adalah 4.000b + 4.000p = 14.500 Disederhanakan menjadi 8b + 5k = 29 dimana b + p = 6 8b + 5p = 33 5b + 5p = 30 _ 3b = 3 b = 1sehingga b + p = 6 1 + p = 6p = 6 – 1p = 5Jadi, banyak pensil yang dibeli Tohir adalah 5Langkah 3Menggantikan nilai x ke salah satu persamaan5x + 3y= 21.0005(3.000) + 3y= 21.00015.000 + 3y= 21.000 3y= 21.000 – 15.000 3y= 6.000y= 6.0003y= 2.000Langkah 4Mengecek nilai x dan y dalam kedua persamaan5(3.000) + 3(2.000)= 21.0004(3.000) + 2(2.000)= 16.000Harga 1 Buku adalah Rp3.000,00 dan harga 1 penggaris adalah Rp2.000,00.Karena Suci ingin membeli 10 Buku dan 3 penggaris, maka10x + 3y= 10(3.000) + 3(2.000)= 30.000 + 6.000= 36.000Jadi, uang yang harus dibayar oleh Suci adalah Rp36.000,00.
27MATEMATIKAContoh1.7Perhatikan Gambar berikut ini.ABCGDFEBangun ABCDEFG adalah menunjukkan keadaan sebuah kamar. Keadaan yang sebenarnya AD = DE, AB = 28 meter, dan EF = 18 meter serta luas kamar 624 m2 . Jika sebuah penyekat dibuat dari E sampai C yang membagi luas kamar menjadi dua bagian yang sama luas, maka jarak dari C ke G adalah .... PenyelesaianAlternatifA28 m18 mBCGDFEHLuas kamar seluruhnya = 624 m2Karena luasnya membagi dua, maka luas ABCED = 312 m2 dan luas CEFG = 312 m2Perhatikan kembali ilustrasi gambar diatas...AD = DE = HB, EH = FG,AB = DH = 28 = DE + EH, AB = AD + EHAD + EH = 28 (1)Luas kamar seluruhnya = luas ABHD + Luas EFGH624= AB × AD + EF × FG624= 28AD + 18FG624= 28AD + 18EH(2)
28Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Dari persamaan (2) dan (1), diperoleh28AD + 18EH = 624⇒ 14AD + 9EH= 312 | × 1⇒ 14AD + 9EH= 312AD + EH = 28⇒AD + EH = 28 | × 9⇒ 9AD + 9EH= 252-------------------------- –5AD= 60AD= 12⇒EH = 16Dengan demikian Perhatikan trapesium EFGC .Luas trapesium EFGC= 12(CG + EF) × FGLuas trapesium EFGC= 12(CG + EF) × EF312= 12(CG + 18) × 16624= (CG + 18) × 1639= CG + 18CG= 21Jadi, jarak dari C ke G adalah 21 mJelaskan strategi yang digunakan Lisa untuk menentukan harga sebuah lilin kuning dan sebuah lilin putih.Ayo KitaBerbagiSajikan hasil penalaran kalian di depan kelas, Periksa dan secara santun silakan saling memberi komentar dan menanggapi komentar temanmu.Nah...., sekarang perhatikan strategi yang digunakan Lisa untuk menentukan harga masing-masing lilin.Lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . Rp8.100 . . . . Rp24.300 . . . . . . . . . . . . . . . . Rp11.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rp5.500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rp2.600Rp35.000Rp16.200Gambar 4.6Penalaran Lisa untuk Menyelesaikan Masalah Pembelian LilinAyo KitaMenalar
29MATEMATIKA1.Andre membayar Rp100.000,00 untuk tiga ikat bunga sedap malam dan empat ikat bunga aster. Sedangkan Rima membayar Rp90.000,00 untuk dua ikat bunga sedap malam dan lima ikat bunga aster di toko bunga yang sama dengan Andre.a.Tulis persamaan yang menyatakan informasi di atas.b.Tulis sebuah persamaan yang menunjukkan harga seikat bunga sedap malam dan enam ikat bunga aster.c.Temukan harga seikat bunga sedap malam dan seikat bunga aster.2.Tiga T-shirt dan empat topi dijual seharga Rp960.000,00. Dua T-shirt dan lima topi dijual Rp990.000,00. Berapakah harga setiap T-shirt? Berapakah harga setiap topi?3.Marlina membeli dua gelas susu dan dua donat dengan total harga Rp66.000,00. Sedangkan Zeni membeli empat gelas susu dan tiga donat dengan total harga Rp117.000,00. Tentukan harga segelas susu.4.Suatu yayasan menyumbangkan 144 buku ke 4 sekolah. Banyak buku yang diterima untuk setiap sekolah tidak sama. Selisih buku yang diterima sekolah A dan B adalah 16. Selisih buku yang diterima sekolah B dan C adalah 12. Selisih buku yang diterima sekolah C dan D adalah 8. Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang diterima sekolah lain. Jika sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A, tentukan banyak buku yang diterima masing-masing sekolah. Latihan!?!?1.4
30Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Alat dan Bahan:1.1 buah gelas plastik2.Gelas ukur (berbentuk silinder)3.Air4.Jam tangan atau stopwatch5.PakuMelakukan Percobaan: Air yang terbuang sia-siaDi berbagai situasi, pola dan persamaan menjadi terlihat ketika data telah dikumpulkan, diolah, dan disajikan. Kalian akan melakukan percobaan secara berkelompok. Setiap kelompok terdiri atas 4 orang.Dalam percobaan ini, kalian akan menyimulasikan sebuah kran yang bocor dan mengumpulkan data volume air yang terbuang setiap 5 detik. Kalian akan menggunakan data tersebut untuk memprediksi seberapa banyak air yang terbuang ketika kran mengalami kebocoran selama satu bulan. Bacalah petunjuk secara seksama sebelum memulai percobaan. Sajikan hasil temuanmu di kelas.TugasProjek1Berapa banyak Air yang terbuang?PakuGelas PlastikGelas UkurStopwatch
31MATEMATIKAPetunjuk:Bagi tugas untuk tiap-tiap anggota kelompokmu.1.Buatlah tabel untuk mencatat waktu dan jumlah air yang terbuang. Isilah kolom waktu dari 0 detik sampai 60 detik dengan interval 5 detik (maksudnya, 5, 10, 15, dan seterusnya).Waktu (detik)51015202530354045505560Jumlah Air yang terbuang (ml)2.Gunakan paku untuk melubangi bagian dasar gelas plastik. Tutupi lubang dengan jarimu.3.Isilah gelas plastik dengan air.4.Siapkan gelas ukur dan letakkan di bawah gelas plastik yang kalian pegang.5.Setelah siap untuk mulai mengukur waktu, lepaskan jari kalian dari lubang gelas plastik sehingga air menetes ke dalam gelas ukur (simulasi kran bocor).6.Catat jumlah air dalam gelas ukur setiap 5 detik selama satu menit.Gunakan percobaan ini untuk menulis sebuah poster, mencoba meyakinkan orang untuk menghemat air.Poster yang kalian buat harus mencakup informasi berikut.•Grafik data yang kalian catat.•Persamaan Linear yang tebentuk beserta penjelasan variabel yang kalian maksud.•Data yang menunjukkan prediksi kalian untuk:Jumlah air yang terbuang sia-sia selama 15 detik, 2 menit, 2,5 menit, dan 3 menit seandainya air kran yang bocor memiliki laju yang sama seperti gelas plastik kalian.Jelaskan bagaimana kalian membuat prediksi. Apakah kalian menggunakan tabel, grafik, atau metode lain?•Penjelasan tentang berapa banyak air yang terbuang sia-sia dalam satu bulan jika kran air yang bocor memiliki laju seperti lubang gelas plastik. Jelaskan bagaimana kalian membuat prediksi.•Biaya air yang terbuang sia-sia dalam satu bulan (untuk menyelesaikan ini, kalian harus mengetahui berapa biaya air di daerah kalian masing-masing. Kemudian gunakan informasi tersebut untuk menghitung biaya air yang terbuang sia-sia).
32Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Kalian telah mempelajari ciri-ciri persamaan linear dua variabel, menentukan nilai variabel, menentukan pasangan berurut sebagai selesaian dari persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel, serta membuat model dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel. Pertanyaan berikut akan membantu kalian untuk merangkum apa yang telah kalian pelajari.1.Apa yang kamu ketahui tentang persamaan linear dua variabel?2.Prosedur apa saja yang kalian lakukan ketika membuat persamaan linear dua variabel?3.Apa yang kalian butuhkan ketika membuat tabel untuk menentukan selesaian persamaan linear dua variabel?4.Bagaimana diagram perpaduan harga membantu kalian untuk menentukan selesaian persamaan linear dua variabel?5.Bagaimana grafik dapat membantu kalian untuk menentukan selesaian persamaan linear dua variabel?6.Apa yang kamu ketahui tentang sistem persamaan linear dua variabel?7.Prosedur apa saja yang kalian lakukan ketika menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel?8.Dalam hal apakah sistem persamaan linear dua variabel bermanfaat?9.Topik atau materi apa saja yang berkaitan erat dengan materi Persamaan Linear Dua Variabel?Merangkum1
33MATEMATIKA1.Selesaikan soal berikut dengan benar.Tentukan persamaan setiap grafik berikut.a. b. c. 2.Andi dan Dian sedang menata ulang ruang OSIS. Mereka ingin meletakkan lemari di sepanjang salah satu dinding ruangan. Mereka mulai mengukur ruang dan menggambar bagan.Andi dan Dian mengecek lemari yang ada di toko lemari terdiri dua ukuran yang berbeda yaitu 45 cm dan 60 cm. a.Tentukan persamaan linear dua variabel yang terbentuk.b.Berapa banyak lemari yang akan dipesan Andi dan Dian supaya tepat ditempatkan di sepanjang dinding yang berukuran 315 cm? Cobalah temukan lebih dari satu kemungkinan jawaban3.Lengkapi pasangan terurut untuk tiap-tiap persamaan.a. y = –x + 6; (9, )b. y = 6x – 7; (2, )c. 321513; ,4xy−= −d. 3127; ,4xy−+ =543210012345xy543210012345xy543210012345xyJendelaPintu315cm330cmUjiKompetensi+=+??1
34Kelas VIII SMP/MTsSemester 24.Pilihan GandaMuhalim akan pergi ke Makassar tahun depan untuk mengikuti pawai drum band sekolahnya. Dia berencana menyisihkan Rp250.000,00 dari uang bulanannya pada setiap akhir bulan untuk perjalanannanya. Pilihlah grafik yang menunjukkan bagaimana tabungan Muhalim akan terbentuk selama selang waktu tertentu.5.Kelas VIII A mengumpulkan uang amal untuk membantu korban bencana alam. Mereka menggunakan uang amal untuk membeli perlengkapan sekolah bagi anak-anak yang menjadi korban bencana. Albertus menggunakan grafik untuk mengetahui jumlah uang amal tiap akhir pekan.Jumlah Tabungan (Rp)1.500.0001.250.0001.000.000750.000500.000250.0000Lama Menabung (Bulan)01234567Jumlah Tabungan (Rp)1.500.0001.250.0001.000.000750.000500.000250.0000Lama Menabung (Bulan)01234567Jumlah Tabungan (Rp)1.500.0001.250.0001.000.000750.000500.000250.0000Lama Menabung (Bulan)01234567c.a.d. Tak satupun yang benarb.Laporan Keuangan Kelas VIII AJumlah Amal (Rp)1.000.000900.000800.000700.000600.000500.000400.000300.000200.000100.0000Minggu ke-012345678910
35MATEMATIKAa. Informasi apa yang ditunjukkan oleh grafik tentang laporan keuangan di kelas VIII A?b. Buat tabel data untuk 10 minggu pertama. Jelaskan mengapa tabel menunjukkan hubungan yang linear.c.Tuliskan suatu persamaan yang menunjukkan hubungan linear dari laporan keuangan kelas VIII A. Jelaskan makna variabel dan bilangan-bilangan pada persamaan yang kamu buat.d.Bagaimana kalian menentukan jika grafik, tabel dan persamaan dari laporan keuangan Kelas VIII A adalah linear?6.Hadi membeli dua T-shirt dan sebuah sweater di pasar dengan total harga Rp300.000,00. Ketika sampai di rumah, dia menyesal karena salah satu T-shirt yang dia beli jahitannya rusak. Dia memutuskan untuk menukar satu T-shirt untuk sebuah sweater.a.Akhirnya Hadi menukarkan T-shirtnya, namun dia harus membayar Rp60.000,00 lagi karena sweater lebih mahal daripada T-shirt.b. Berapakah harga masing-masing barang yang dibeli Hadi? Jelaskan alasanmu.7.Malam ini sebuah film animasi terbaru sedang diputar di sebuah bioskop. Beberapa orang dewasa dan anak-anak sedang mengantri membeli tiket.a.Berapa rupiah biaya tiket yang akan ditagih oleh petugas penjualan tiket pada gambar ketiga? b.Berapa rupiah yang akan kalian bayar jika kamu pergi menonton film di bioskop?
36Kelas VIII SMP/MTsSemester 28.Baharuddin membuat model jembatan dari batang kayu. Ketika membangun jembatan, dia memiliki ide dengan membuat pola segitiga seperti di bawah ini. Banyaknya batang kayu bergantung pada banyaknya batang kayu yang berada di bagian bawah.Batang kayu bagian bawah = 3Batang kayu bagian bawah = 4Banyak batang kayu keseluruhan = 11Banyak batang kayu keseluruhan = 15a.Salin dan lengkapi tabel berikutJembatan KayuBatang kayu bagian bawah12345678910Banyak batang kayu keseluruhan3711.....................b.Tuliskan persamaan yang menghubungkan banyak kayu keseluruhan t dengan banyak kayu bagian bawah b. Jelaskan bagaimana kalian memperoleh persamaan.c.Apa yang kalian ketahui tentang sifat segitiga dan persegi panjang yang membuat model di atas lebih baik daripada model jembatan di bawah.9.Hadi membeli dua T-shirt dan sebuah sweater di pasar dengan total harga Rp300.000,00. Ketika sampai di rumah, dia menyesal karena salah satu T-shirt yang dia beli jahitannya rusak. Dia memutuskan untuk menukar satu T-shirt untuk sebuah sweater. Akhirnya Hadi menukarkan T-shirtnya, namun dia harus membayar Rp60.000,00 lagi karena sweater lebih mahal daripada T-shirt.Berapakah harga masing-masing barang yang dibeli Hadi? Jelaskan alasanmu.10.Diberikan suatu sistem persamaan berikut.5p + 3k = 1210p + 6k = 16Bisakah kalian menemukan nilai p dan k? Jelaskan alasanmu.